هندسه پنهانِ «ما»؛ کشف ساختارهای پنهان در سیستم‌های پیچیده (درآمدی بر Q-Analysis)

قرار هست چی رو بررسی کنیم؟

وقتی رابطه‌ی چند چیز با هم «یک چیز» است و به یال‌های دوتایی تقسیم نمی‌شود، چطور ساختارش را ببینیم؟

چرا گراف برای فهم شهر و سازمان کافی نیست؟

در تحلیل سیستم‌ها خیلی وقت‌ها گرفتار «دامِ نقطه و خط» می‌شویم. وقتی به یک شبکه‌ی اجتماعی، یک شهر یا یک سازمان نگاه می‌کنیم، عادت کرده‌ایم آن را گراف ببینیم: موجودیت‌ها (گره) که با خط (یال) به هم وصل‌اند. ولی رابطه‌ی واقعی گاهی دوتایی نیست. دو نفر ممکن است هم‌زمان همکار باشند، هم‌باشگاهی و همسایه؛ این یک خط نازک نیست، یک «چیز چندبعدی» است. در گراف همه‌ی این‌ها به یک یال تبدیل می‌شود و آنچه می‌ماند فقط «وصل بودن» است.

رونالد اتکین (R. H. Atkin)، ریاضی‌دان بریتانیایی در دانشگاه اسکس، در اوایل دهه‌ی ۱۹۷۰ روشی ساخت که این بعدها را نگه می‌دارد: Q-Analysis یا تحلیل پیوندی. خودش الهام‌اش را از مقاله‌ی کلیفورد داکر (۱۹۵۲) درباره‌ی همولوژیِ رابطه‌ها می‌گرفت، و کتاب‌های اصلی‌اش Mathematical Structure in Human Affairs (۱۹۷۴)، Combinatorial Connectivities in Social Systems (۱۹۷۷) و Multidimensional Man (۱۹۸۱) است. کاربردهایش را در ساختار شهری و سازمان‌ها نشان داد، از جمله مطالعه‌ی اجتماع دانشگاه اسکس.

مفهوم‌ها

سه چیز را باید دقیق بشناسیم:

مفهوم	یعنی چه	مثال
رأس (Vertex)	یک عضو یا ویژگیِ پایه	«قهوه»، «وای‌فای»، «موسیقی زنده»
سیمپلکس (Simplex)	مجموعه‌ای از رأس‌ها که با هم یک چیز را می‌سازند	یک کافه با چهار ویژگی‌اش؛ یک کمیته با اعضایش
مجموعه‌ی سیمپلیسیال (Simplicial Complex)	همه‌ی سیمپلکس‌ها با هم	کل مجموعه‌ی کافه‌های شهر

یک سیمپلکس با n رأس، شکلی (n−۱)-بعدی است: دو رأس یک پاره‌خط، سه رأس یک مثلث، چهار رأس یک چهاروجهی. اگر یک کافه چهار ویژگی دارد، نقطه نیست؛ یک چهاروجهی است (سیمپلکس سه‌بعدی). یک نکته‌ی زبانی: «وجه» ترجمه‌ی face است و یک جزء از سیمپلکس را می‌گوید؛ رأس را نباید «وجه» نامید.

ماتریس پایه‌ی روش، ماتریس برخورد (Incidence) است: سطرها سیمپلکس‌ها (مثلاً کافه‌ها)، ستون‌ها رأس‌ها (ویژگی‌ها)، و ۱ یعنی «این سیمپلکس این رأس را دارد».

Q-nearness و ساختار

دو سیمپلکس q-نزدیکاند اگر دست‌کم q+۱ رأس مشترک داشته باشند (یعنی یک وجه q-بعدی مشترک). یک زنجیره از سیمپلکس‌هایی که هر دو تای متوالی‌اش q-نزدیک‌اند، یک مؤلفه‌ی q-همبند می‌سازد. تحلیل یعنی در هر سطح q (از ۰ تا بالاترین بعد) بشماریم چند مؤلفه‌ی q-همبند هست. این شمارش‌ها را کنار هم می‌گذاریم و بردار ساختار (Structure Vector) را می‌سازیم: $Q=[Q_n,\dots ,Q_1,Q_0]$ که $Q_q$ تعداد مؤلفه‌های q-همبند است.

یک مثال کامل

چهار کافه و پنج ویژگی داریم:

کافه	ویژگی‌ها (رأس‌ها)	بعد سیمپلکس
A	قهوه، فضای کار اشتراکی، وای‌فای	۲
B	قهوه، وای‌فای، موسیقی زنده	۲
C	وای‌فای، کتاب	۱
D	کتاب	۰

رأس‌های مشترک: A و B دو رأس (قهوه و وای‌فای) مشترک دارند، پس ۱-نزدیک‌اند. A و C، B و C فقط وای‌فای را مشترک دارند و C و D فقط کتاب را؛ این‌ها ۰-نزدیک‌اند. A و D، B و D چیزی مشترک ندارند.

حالا مؤلفه‌ها را می‌شماریم:

• q = ۲ (فقط سیمپلکس‌های سه‌رأسی، یعنی A و B): برای ۲-نزدیک بودن سه رأس مشترک لازم است و ندارند، پس دو مؤلفه: {A}، {B}.
• q = ۱ (سیمپلکس‌هایی با دست‌کم دو رأس: A، B، C): A و B ۱-نزدیک‌اند و C با هیچ‌کدام دو رأس مشترک ندارد، پس دو مؤلفه: {A,B}، {C}.
• q = ۰ (همه‌ی چهار کافه): هر دو کافه‌ای که حتی یک رأس مشترک داشته باشند وصل‌اند، و همه از راه وای‌فای و کتاب به هم می‌رسند، پس یک مؤلفه.

بردار ساختار می‌شود $Q=[2,2,1]$ (از q=۲ تا q=۰).

این عددها یک حرف ساختاری می‌زنند: در عمیق‌ترین سطح، A و B با هم یکی نیستند. فقط در سطح ۱ است که این دو به هم می‌چسبند و C بیرونش می‌ماند. و کل مجموعه فقط از طریق ویژگی‌های «کم‌عمق» (یک وای‌فای، یک کتاب) یک تکه است؛ اگر آن دو ویژگی نباشد شهرِ کافه‌ها تکه‌تکه می‌شود. این همان «ساختار پنهان» است: گراف ساده فقط می‌گفت «همه وصل‌اند».

(این یک مثال اسباب‌بازی است. در عمل روی داده‌ی واقعی می‌روی و بردار ساختار را با نرم‌افزار حساب می‌کنی؛ و تفسیرش را باید با شناخت زمینه کنار هم گذاشت.)

با گراف و تحلیل شبکه چه فرقی دارد؟

گراف حالت خاصِ بعد ۱ است، یعنی فقط رابطه‌ی دوتایی. Q-Analysis رابطه‌ی چندنفره را یک‌تکه نگه می‌دارد و می‌پرسد کجا و در کدام سطح همبندی ساختار می‌شکند. با تحلیل شبکه‌ی اجتماعی (SNA) هم هم‌خانواده است، ولی SNA ریشه‌ی مستقل خودش را دارد (جامعه‌سنجی، نظریه‌ی گراف)، نه اینکه از اتکین بیاید. امروز ایده‌ی «رابطه‌های مرتبه‌بالا» در تحلیل داده‌ی توپولوژیک و شبکه‌های ابرگرافی هم دوباره دیده می‌شود.

به نظرم ارزش اصلی روش برای تحلیل‌گر سیستم یک تغییر پرسش است: به‌جای «چه چیزی به چه چیزی وصل است؟»، «چند چیز چقدر با هم‌اند و ساختار کجا می‌شکند؟»

تحلیل_پیوندیQ_Analysisسیمپلکستحلیل_شبکهپیچیدگیتحلیل_سیستم

مرتبط: تحلیل کردن، تمامیت‌ها را خراب می‌کند (آیا تحلیل واقعاً تمامیت را خراب می‌کند، یا فقط تحلیلِ فروکاسته‌ی گراف‌محور؟)، تئوری مشاهده‌پذیری چندوجهی و نظریه اول یا داده اول؛ دو نگاه به تحلیل داده (همان انتخاب: چارچوب نظری از پیش، یا کشفِ ساختار از دلِ داده؟).