تصمیم‌گیری احتمالی؛ مطلوبیت و ارزش اطلاعات

از درس دکتری

این یادداشت از درس «تصمیم‌گیری چندمعیاره» دوره‌ی دکتری من نوشته شده است. توضیح‌ها را به زبان خودم بازنویسی و مثال‌های عددی را دوباره حساب کرده‌ام. منبع اصلی درس: اصغرپور، «تصمیم‌گیری‌های چندمعیاره» (دانشگاه تهران).

کجا قرار می‌گیرد؟

تا اینجا درباره‌ی چند شاخص و گزینه‌های محدود حرف زدیم. حالا برعکس: یک معیار (مثلاً سود)، ولی نتیجه تصادفی است. باید بین چند «اقدام» انتخاب کنیم، در حالی که «حالت طبیعت» را نمی‌دانیم.

جدول عایدی

اقدام‌ها (سطر)، حالت‌های طبیعت (ستون)، و عایدی هر ترکیب:

	حالت ۱ ($p=0.4$)	حالت ۲ ($p=0.6$)
اقدام ۱	۱۰۰	۲۰−
اقدام ۲	۴۰	۳۰

معیارهای تصمیم

• بدون احتمال: ماکسی‌مین، ماکسی‌ماکس، هورویچ، پشیمانی کمینه (Savage)، لاپلاس (احتمال‌های مساوی). (نگاه کنید به روش‌های غیرجبرانی در تصمیم‌گیری چندشاخصه.)
• با احتمال: ارزش پولی مورد انتظار (EMV): $EMV(a)={\sum }_{\theta }p(\theta )u(a,\theta )$. اینجا $EM{V}_1=28$ و $EM{V}_2=34$؛ اقدام ۲ برنده است.

ارزش اطلاعات کامل (EVPI)

اگر قبل از تصمیم، حالت طبیعت را دقیقاً بدانیم، در هر حالت بهترین اقدام را برمی‌گزینیم: $E[\max ]=0.4\times 100+0.6\times 30=58$. تفاوتش با بهترین EMV:

$EVPI=58-34=24$

یعنی هیچ منبع اطلاعاتی ارزش بیش از ۲۴ واحد ندارد. این یک سقف است؛ برای اطلاعات ناقص (نمونه‌گیری) ارزش کمتر است و با قاعده‌ی بیز احتمال‌ها را به‌روز می‌کنیم: $P(\theta |e)=\frac{P(e|\theta )P(\theta )}{P(e)}$. (مثال جلسه: اگر برای دیدن یک مهره‌ی نمونه، پول بدهیم، فقط وقتی ارزش دارد که ارزش اطلاعات نمونه از هزینه بیشتر باشد.)

نظریه‌ی مطلوبیت

ارزش پولی مورد انتظار ریسک‌گریزی را نمی‌بیند: کسی که ۱۰۰ میلیون برنده می‌شود یا صفر، با کسی که قطعاً ۵۰ می‌گیرد یکی نیست. فون نویمان و مورگنشترن (۱۹۴۴) نشان دادند اگر ترجیح‌ها چند اصل را برآورده کنند (کامل‌بودن، گذرایی، پیوستگی، استقلال)، یک تابع مطلوبیت $u$ هست که تصمیم‌گیر در عمل مطلوبیت مورد انتظار را بیشینه می‌کند.

مثال: قمار ۵۰-۵۰ بین ۰ و ۱۰۰ و $u(x)=\sqrt{x}$: مطلوبیت مورد انتظار $0.5\sqrt{100}=5$؛ معادل قطعی (مقدار قطعی با همین مطلوبیت) $5^2=25$، کمتر از EMV (۵۰)؛ ریسک‌گریز است. $u$ محدب یعنی ریسک‌جو و خطی یعنی ریسک‌خنثی. مطلوبیت را معمولاً بین ۰ و ۱ تعریف می‌کنیم.

درخت تصمیم

وقتی تصمیم‌ها پشت‌سرهم است (اول نمونه بگیر، بعد تصمیم بگیر)، درخت تصمیم شاخه‌های تصمیم (مربع) و تصادف (دایره) را به‌ترتیب می‌گذارد و از برگ‌ها به ریشه (محاسبه‌ی برگشتی) حل می‌کند.

نکته‌ی من

وقتی داده ندارم، «احتمال» را از خودم می‌سازم و این برای من همیشه مشکوک است. پس EVPI را اول حساب می‌کنم: اگر سقف ارزش اطلاعات کوچک است، وقت را روی تحلیل نمی‌گذارم و تصمیم می‌گیرم؛ اگر بزرگ است، یعنی جمع‌کردن اطلاعات تصمیم بهتری از دقت‌کردن در مدل است.

مرتبط: تصمیم‌گیری در شرایط عدم قطعیت؛ اعداد فازی و مقدمه؛ تصمیم‌گیری چندشاخصه چیست؟.

تصمیم_گیری_احتمالیEVPIمطلوبیت