راه‌حل نش و مدل رابینشتین

از درس دکتری

این یادداشت از درس «نظریه بازی‌ها» دوره‌ی دکتری من نوشته شده است. توضیح‌ها را به زبان خودم بازنویسی و مثال‌های عددی را دوباره حساب کرده‌ام.

دو نگاه به چانه‌زنی

دو سنت داریم: بدیهی‌سازی (نش، ۱۹۵۰): «چه ویژگی‌هایی یک توافق منصفانه دارد؟» و مدل راهبردی (رابینشتین، ۱۹۸۲): «اگر بازیکنان نوبتی پیشنهاد بدهند، چه می‌شود؟» حالت مهم این است که نتیجه‌ی هر دو نزدیک هم است.

راه‌حل چانه‌زنی نش

اگر $d=(d_1,d_2)$ نقطه‌ی عدم توافق (مطلوبیت وقتی مذاکره می‌شکند) باشد، راه‌حل نش پیامدی است که حاصل‌ضرب سودهای بالاتر از عدم توافق را بیشینه می‌کند:

${\max }_{(u_1,u_2)}(u_1-d_1)(u_2-d_2)$

این پاسخ تنها جوابی است که چهار اصل معقول را برآورده می‌کند:

۱. عقلانیت فردی: هیچ‌کس کمتر از عدم توافق نمی‌پذیرد. ۲. کارایی (پارتو): مازادی هدر نمی‌رود. ۳. تقارن: اگر دو بازیکن کاملاً مشابه‌اند، سهم برابر. ۴. استقلال از گزینه‌های نامربوط: حذف توافق‌های ناپذیرفتنی، پاسخ را عوض نمی‌کند. (به همراه ناوردایی نسبت به تبدیل خطی مطلوبیت.)

با تقسیم یک کیک به‌اندازه‌ی ۱ و مطلوبیت خطی، جواب این است: هرکس نقطه‌ی عدم توافق‌اش را می‌گیرد و باقی مازاد برابر تقسیم می‌شود. یعنی بالا بردن گزینه‌ی بیرونی، سهم را بالا می‌برد.

مدل رابینشتین: پیشنهادهای متناوب

یک کیک به اندازه‌ی ۱ و دو بازیکن. در دوره‌ی ۱ بازیکن ۱ پیشنهاد می‌دهد؛ اگر بازیکن ۲ بپذیرد، تمام. اگر رد کند، یک دوره می‌گذرد و بازیکن ۲ پیشنهاد می‌دهد، و همین‌طور تا توافق. گذشت زمان هزینه دارد: هر بازیکن $i$ کیک دوره‌ی بعد را با ضریب ${\delta }_i\in (0,1)$ تنزیل می‌کند (بی‌صبری).

نتیجه (تعادل کامل زیربازی یکتا): بازیکن ۱ در همان دوره‌ی اول پیشنهاد می‌دهد و پذیرفته می‌شود؛ هیچ تأخیری رخ نمی‌دهد. سهم او:

$x_1^{\ast }=\frac{1-{\delta }_2}{1-{\delta }_1{\delta }_2},x_2^{\ast }=1-x_1^{\ast }$

اگر ${\delta }_1={\delta }_2=\delta$ باشد، $x_1^{\ast }=1/(1+\delta )$؛ پیشنهاددهنده‌ی اول بیشتر از نیم می‌برد، چون کیک دوره‌ی بعد کوچک‌تر است. وقتی دوره‌ها بسیار کوتاه شود ($\delta \to 1$)، سهم‌ها به ۵۰-۵۰ نزدیک می‌شود و به راه‌حل نش می‌رسد.

اثبات به‌صورت استنتاج معکوس: فرض کنید زمان نامحدود است و ببینید هر بازیکن چه حداقلی را می‌پذیرد؛ پس سطح انتظار را از آخر به اول می‌چینیم.

مثال عددی

${\delta }_1$	${\delta }_2$	سهم بازیکن ۱	سهم بازیکن ۲
۰٫۹	۰٫۹	۰٫۵۲۶	۰٫۴۷۴
۰٫۸	۰٫۹	۰٫۳۵۷	۰٫۶۴۳
۰٫۹	۰٫۸	۰٫۷۱۴	۰٫۲۸۶

ردیف دوم: بازیکن ۱ بی‌صبرتر است (${\delta }_1=0.8$) و با اینکه اول پیشنهاد می‌دهد، فقط ۳۶٪ می‌گیرد. صبوری بر ترتیب نوبت غلبه می‌کند. این دقیقاً عامل «صبوری» در چانه‌زنی؛ عوامل قدرت و هزینه‌ی انتظار را به عدد تبدیل می‌کند.

نقد

مدل رابینشتین یک جهان خالی از دروغ فرض می‌کند: اطلاعات کامل، پیشنهادهای نوبتی. در عمل مذاکره‌ها تأخیر دارند (اعتصاب) و این با مدل نمی‌خواند؛ توضیحش اطلاعات نامتقارن است. با این حال به نظرم نتیجه‌ی کلیدی‌اش را باید یادم بماند: در چانه‌زنی، آنکه کمتر عجله دارد می‌برد.

مرتبط: بازی‌های بیزی و علامت‌دهی.

رابینشتینراه_حل_نشچانه_زنی